尺规作图三大问题书（尺规作图三大问题 三等分角）

尺规作图三大问题书（尺规作图三大问题三等分角）

投稿用户 • 2022年7月26日 am7:50 • 范文大全 • 阅读 368

古代三大几何尺规作图问题分别是三等分任意角，立方倍积和化圆为方。科学家们已经证明了，用尺规作图是无法解决的，前两个问题是要对一个数开立方，后面的一个要做出圆周率，而尺规作图只能做出有限次数的加减乘除和开平方，无法达到目的。

远在十八世纪中叶，荷兰数学家雅各布（Jacob de Gelder）提出了一个近似的化圆为方的做法，精度很高，本文就讨论一下。我们知道，南北朝时期的数学家祖冲之计算出了圆周率的密率355/113 = 3.1415929….，这是个有理数，可以用尺规作图实现，而且跟圆周率很接近，精确到小数点后第六位，也就是百万分之一，对于应用层面来讲，完全够用了。具体做法如下图：

尺规作图过程简述

步骤如下：

1. 已知圆的半径为1，作相互垂直的直径AB和CD，在CD上取一点E，使得CE=7/8。

2. 连接AE，在AE上取一点F，使得AF=1/2。

3. 通过F作AB的垂线交AB于G。

4. 连接EG，并通过点F做EG的平行线，交AB于点H。

5. 延长AB，并作BJ=CB，以及JK=AH。

6. 以AK为直径作圆，交CD的延长线于M。

7. 以BM为边做正方形，该正方形即为所求。

证明如下：因为FG平行于CD，所以三角形AFG相似于三角形AEC，从而AF/AE=AG/AC——①

因为EG平行于FH，所以三角形AFH相似于三角形AEG，从而AF/AE=AH/AG——②

两个式子相乘，得到(AF/AE)^2=AH/AC，由于AC=1，AF=1/2，而AE^2=AC^2+CE^2，故AH=：

因此AK=3*AC+JK=3+16/113=355/113。

又因为以AK为直径的圆L交CD的延长线为M，则三角形AMK为直角三角形，则根据射影定理：CM^2=AC*CK=AK-1，则BM^2=CM^2+CB^2=AK-1+1=AK，因此作BM为边的正方形，面积等于AK=355/113，接近于圆周率，就是近似的化圆为方。精度为亿分之一，大约是半径100公里的圆，正方形的边长误差为7.5毫米。

............试读结束............

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